让让我们简单介绍一下加法电路。
为了让计算机执行算术运算，输入数据必须首先编码。现代计算机都是二进制计算机，n位二进制数的编码空间是。如果使用8位二进制编码，最多可以有256种不同的状态，可以对应自然数中的0-255，这是一个8位无符号整数。
我们知道有限数集合对于加法不是闭的，对于加法闭的数集合一定是无限数集合(比如自然数集合的子集)。显然，计算机只能处理有限的数据，所以我们需要对有限的数集进行闭运算。模加法满足这个性质，用二进制运算实现起来特别简单。
例如，如果运算的输入和输出使用8位无符号整数，在某些情况下会发生溢出，即计算结果不能用8位保存，那么溢出部分将被丢弃，例如:
,
注意到
所以只要输出比输入多一位，运算结果就可以完整保留，多出来的位就是进位。
回想一下，你是怎么学会算术的？熟练背诵10以内的加法和乘法，把用小数表示的算术运算分解成几个10以内的加法和乘法，逐步计算。教计算机做算术也差不多。教二进制计算机做加法只需要教它做2以内的加法。
数学上，一元函数是一组数字到另一组数字的映射:
多元函数是从向量集到数集的映射；
向量函数是从向量集到数集的多重映射:
多元向量函数实际上是多个多元函数的组合:
接下来介绍一个半加法器，输入是a，b；输出是s，c。
是两个二维的二元向量；
是从二维向量集到数集的二维向量函数。
设计这个双输入半加法器就是设计这个功能。
(其中，)，
至于如何设计这个函数，你需要布尔代数的知识。
列出真值表:
布尔代数告诉我们，进位a和b，和a异或b((非a和b)或(a和(非b))。
上述两个逻辑表达式可以缩写如下:
所以实现了。
再回想一下，学完10以内的加法，如何掌握更大范围的整数加法？站直了。
根据解决方案，它是一个垂直过程。
好了，现在垂直计算3/3。
我们发现只有两个输入的半加法器是不够的，前一位的进位要作为后一位的输入。
全加器应该有三个输入，它的真值表如下:
以便获得:
级联n个全加器就是一个n位加法器，是一个步进进位加法器。
考虑到改变门电路中的电场状态需要时间，如果输入电平改变，则输出电平需要一段时间来响应，当然很小，小到纳秒。所以这个加法器有一个缺点:每一位的进位输入依赖于前一位的进位输出，只有在前一位的进位信号稳定后，这个位的全加器的运算才有意义。如果位数n很大，整个加法器就会变慢，最终会限制cpu频率的提升。
既然一位的级联加法器有这样的缺点，那就干脆设计一个位数足够大的加法器吧！
我们列出2位全加器的真值表:
我们看到，随着n的增加，真值表的行数呈指数增长。即使位数只有2，真值表的行数也达到32，很难手工求解布尔表达式。但理论上，这样的全加器确实存在，事实上，还有更优雅的设计方法。
再次，考虑上面提到的全加器，不是级联获得进位输入，而是设计电路直接根据输入获得合适的进位，所以设计的加法器叫超前进位加法器。
每一级的进位可以由当前的两个比特产生。或者由传播进位和电流输入的累积引起，因此下一级的进位为
因此，获得了关于2位超前进位加法器的布尔表达式:
图片来自托马斯·l·弗洛伊德，《数字电子技术（第九版）》电子工业出版社，由张瑜等人翻译。
考虑到集成电路的面积、成本、功耗、散热等因素，超前进位加法器的位数一般不会太大。通常，几个超前进位加法器(如8位和16位)级联在一起，得到一个具有宽位数的加法器。
以上，部分图片来自网络，已删除。
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